極座標

極座標の場合,^点P ^{は原点からの角度}θ^{と原点から点}P ^{までの距離}rで表示することができま す.極座標における位置座標は次の式で表せます.

x=rcosθ, y=rsinθ 次の式も同じように利用できます.

x²+y²=r², tanθ=y x

◮ 極座標のプロットを作成する

1. ^角度θ^と,距離を使った式を入力します.

2. 数式にカーソルを配置して2Dプロットサブメニューから極座標を選択します.

次に示すプロットを表示する場合は,^編集+^{プロパティとし},^{軸タブを表示します}. ^そこで,^両軸 で同じスケーリングを採用するオプションをチェックします.

◮ 2D^プロット +^極座標

sin 2θ 1−cosθ 1−sinθ+ 2 sin 3θ cos 6θ

0 . 7 5 0 . 5 0 . 2 5 0 -0 . 2 5 -0 . 5 -0 . 7 5

0 . 7 5

0 . 5

0 . 2 5

0

-0 . 2 5

-0 . 5

-0 . 7 5

x y

x y

0 -0 . 5 -1 -1 . 5 -2

1

0 . 5

0

-0 . 5

-1 x

y

x y

6.10.12 パラメトリック極座標プロット

式θ=r² の極座標プロットを作成する時は,^ベクトル( r, r²)

を2Dの極座標コマンドでプロット します. 最初に左側のプロットを作成したら,パラメータの範囲をそれぞれ0^から5 ,^および−5 から5^{と変更します}. 次に線の太さを標準にして,^{線の色を灰色にします}. ^{右側のプロットは},^線 の太さを太くに設定し,^{色を灰色にしています}. プロット範囲ボタンをクリックして,^{ポイント数} を200^{以上にしています}.

◮ 2D^プロット+ ^{パラメトリック}, ^編集+ ^{プロパティ},^極座標 (r, r²)

半径r^と角度θ ^は普通,^第3^の変数t^{によって定義されます}. ^方程式r= 1−sint,θ= cost^を 使って,パラメトリック曲線の極座標プロットを作成します. ^つまり,2D^{プロットサブメニュー} からパラメトリックを使って,^ベクトル(1−sint,cost)^{を描画します}. ^{左の図を編集します}. ^極 座標のパラメータ範囲を0≤t≤2π^とします.

◮ 2D^プロット+ ^{パラメトリック}, ^編集+ ^{プロパティ},^極座標

6.11 2Dプロットのアニメーション表示とVCAM^{ウィンドウ} 171

(1−sint,cost)

2 1.5 1 0.5 0 1

0.5

0

-0.5

-1

x y

x y

6.11 2D プロットのアニメーション表示と VCAM ^{ウィンドウ}

2Dプ ロ ッ ト の ア ニ メ ー シ ョ ン をMuPAD^のVCAMウ ィ ン ド ウ で 表 示 さ せ る こ と が で き ま す. 2Dプロットをアニメーション表示させるには, 2^{つの変数の内の}1つをアニメーション変数とし て指定します. 標準の変数名は水平軸のxとアニメーション変数のt^です. ^{他の変数名を使用し} ている場合,プログラムはその変数名を利用します. ^{これを表示するには},^{プロットのプロパティ} ダイアログのプロットした数式タブからプロット範囲とアニメーションを選択します. ^{次ページの} ダイアログボックスの画像では,a^が水平軸,bがアニメーション変数として設定されています. 同じダイアログで,アニメーション表示の時間設定を行うこともできます.

◮ デフォルトのアニメーションの時間設定を変更する 1. プロットのプロパティダイアログを開きます.

2. プロットした数式タブからプロット範囲とアニメーションを選択します. 3. 個別に設定するチェックボックスをチェックします.

4. アニメーションの開始とアニメーションの終了の秒数を設定し, 1秒間あたりのフレーム数 を設定します.

アニメーションの開始時と終了時にプロットを表示するかを選択することも可能です.

◮ プロット形式全体のアニメーションの時間設定を変更する 1. ^ツール+^{数式処理設定}+2D^{プロットを選択します}.

2. ^{プロット形式を選び},^{アニメーションの開始},^{アニメーションの終了}, 1^{秒間あたりのフレー} ム数を設定します.

◮ プロットのアニメーションを表示する

1. ^{読み込み専用文書で}VCAM^{ウィンドウを開くには},プロットフレームをクリックします. 書き込み可能な文書でVCAM^{ウィンドウを開くには},プロットフレームを選択し,^{右下隅に表示} されるVCAM^{ツールボタン をクリックします}.

2. 再生矢印をクリックするか,アニメーションメニューから再生を選択します.

VCAM ツールバーのアニメーションスタイルドロップダウンリストには,^一回だけ,^ループ,^往 復のオプションが用意されています. アニメーションスピードドロップダウンリストには1/8^倍 速から8倍速までの範囲のオプションが用意されています. これらのオプションと再生,^一時停止, 最初のフレーム,最後のフレームオプションがアニメーションメニューにも用意されています.

◮ VCAM^{ウィンドウを閉じる}

• VCAMウ ィ ン ド ウ の 右 上 隅 の× 印 を ク リ ッ ク し ま す. ^{ま た は}, 閉 じ る を 選 択 す る か, VCAMファイルメニューから終了して(^{ファイル名})^{に戻るを選択します}.

6.11.1 直交座標のアニメーション表示

◮ 直交座標のアニメーションを作成する

• 2つの変数を持つ数式を入力します. 数式内にカーソルを配置して,2D^{アニメーションの} プロットサブメニューから直交座標を選択します.

以下のアニメーションはy= sin 2x^{のグラフが}y= cos 3xに滑らかに移行していく様子を表して います.

◮ 2Dアニメーションのプロット+^直交座標 tcos 3x+ (1−t) sin 2x

6.11 2Dプロットのアニメーション表示とVCAM^{ウィンドウ} 173

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

2 . 5 1 . 2 5 0 -1 . 2 5 -2 . 5

1

0 . 5

0

-0 . 5

-1

x y

x y

2 . 5 1 . 2 5 0 -1 . 2 5 -2 . 5

0 . 7 5

0 . 5

0 . 2 5 0

-0 . 2 5

-0 . 5

-0 . 7 5

x y

x y

2 . 5 1 . 2 5 0 -1 . 2 5 -2 . 5

0 . 5

0

-0 . 5

-1

x y

x y

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

◮ 直交座標のパラメトリックアニメーションを作成する 1. (x(s, t), y(s, t))形式の数式を入力します.

2. カーソルを数式内に配置し,2Dアニメーションのプロットサブメニューから直交座標また はパラメトリックを選択します.

次のリサジューの図形をアニメーション表示するには,^{フレームを選択し},^編集+^{プロパティを選} 択します. プロットした数式タブを表示し,プロットの範囲とアニメーションを選択します. ^変数 x^とt^の範囲を0≤x≤1^と0≤t≤1^{に設定します}. 2^{番目の式では},図形の先端に小さな円を 描きます. 3番目の数式は薄い灰色で静止図形を描きます.

◮ 2Dアニメーションのプロット+ ^直交座標 (sin 8πxt,cos 10πxt)

(sin 8πt+ 0.02 cos 2πx,cos 10πt+ 0.02 sin 2πx) (sin 8πx,cos 10πx)

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

1 0 .5 0 -0 .5 -1

1

0 .5

0

-0 .5

-1

x y

x y

1 0 .5 0 -0 .5 -1

1

0 .5

0

-0 .5

-1

x y

x y

1 0 .5 0 -0 .5 -1

1

0 .5

0

-0 .5

-1

x y

x y

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

サ イ ク ロ イ ド 曲 線 と は 円 が 直 線 上 を 転 が る と き 、そ の 円 周 上 の 定 点 が 描 く 軌 跡 で す. ^{サ イ ク ロ} イド曲線は3つのパラメトリック曲線を使って,アニメーション表示することができます. 1^番

目の式はx-^軸の(2πt,0)点上に静止している円を描きます. 2^{番目の式は半径を}, 3^{番目の式は}

0≤x≤2πtの範囲のサイクロイド曲線の一部を描きます.

フレームをクリックし,^編集+プロパティを選択します. プロットした数式タブを表示し,^プロッ ト範囲とアニメーションを選択します. ^{各変数の範囲は}0≤x≤1^と0≤t≤1^にします. ^軸タ ブに移動し,両軸で同じスケーリングを採用をチェックします.

◮ 2D^{アニメーションの作成}+ ^直交座標 (2πt+ cos 2πx,1 + sin 2πx)

(2πt−xsin 2πt,1−xcos 2πt) (2πxt−sin 2πxt,1−cos 2πxt)

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

6 4 2 0 4

2

0

-2

x y

x y

6 4 2 0 4

2

0

-2

x y

x y

6 4 2 0 4

2

0

-2

x y

x y

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

6.11.2 極座標のアニメーション表示

◮ 極座標の2Dアニメーションを作成する 1. 2変数を持つ式を入力します.

2. 数式内にカーソルを配置します. 2Dアニメーションのプロットサブメニューから極座標を 選択します.

次のアニメーションは極方程式r= sinθt^に変数tが与える影響を表しています. 3^{枚の花びらが} 8^枚になり,^最後に5枚になるように変化します.

こ の ア ニ メ ー シ ョ ン を プ ロ ッ ト す る に は, フ レ ー ム を ク リ ッ ク し,^{編 集} +プ ロ パ テ ィを 選 択 し ま す. プ ロ ッ ト し た 数 式 タ ブ か ら プ ロ ッ ト 範 囲 と ア ニ メ ー シ ョ ン を 選 択 し ま す. 変 数 の 範 囲 は,

−3.14159≤θ≤3.14159^と3≤t≤5^{に設定します}. ^{表示タブに移動し},^{両軸で同じスケーリン} グを採用をチェックします.

◮ 2Dアニメーションのプロット+^極座標 sinθt

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

◮ 極座標のパラメトリックアニメーションを作成する 1. (r(s, t), θ(s, t))形式の数式を入力します.

2. 数式にカーソルを配置して,2Dアニメーションサブメニューから極座標を選択します.

6.11 2Dプロットのアニメーション表示とVCAM^{ウィンドウ} 175

リ マ ソ ン(ま た は パ ス カ ル の 蝸 牛 線 と 呼 ば れ る)^はr = b+acosθ の 極 形 式 の 曲 線 で す. ^次 の ア ニ メ ー シ ョ ン を プ ロ ッ ト す る に は, フ レ ー ム を ク リ ッ ク し, ^{編 集} +プ ロ パ テ ィを 選 択 し ま す. プ ロ ッ ト し た 数 式 タ ブ の プ ロ ッ ト 範 囲 と ア ニ メ ー シ ョ ン を 選 択 し ま す. 変 数 の 範 囲 を

−3.14159≤θ≤3.14159^と3≤t≤5^{と設定します}. ^{表示タブに移動し},^{両軸で同じスケーリン} グを採用をチェックします. アニメーションは極形式の方程式r= 1−tcosθ^における−2^から2 へと変化する変数t^{の影響を表します}.

◮ 2Dアニメーションのプロット+ ^極座標 (1−tcosθ, θ)

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

2 .5 1 .2 5 0 -1 .2 5 -2 .5

1 .5

1

0 .5 0

-0 .5

-1

-1 .5

x y

x y

2 .5 1 .2 5 0 -1 .2 5 -2 .5

1 .5

1

0 .5 0

-0 .5

-1

-1 .5

x y

x y

2 .5 1 .2 5 0 -1 .2 5 -2 .5

1 .5

1

0 .5 0

-0 .5

-1

-1 .5

x y

x y

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

6.11.3 陰関数のアニメーション表示

◮ 陰関数のアニメーションを作成する 1. 3変数の数式を入力します.

2. 数式にカーソルを配置し,2Dアニメーションのプロットサブメニューから陰関数を選択し ます.

次のアニメーションは,^{直交形式の方程式}x²+ty²= 1^における−1 (^{双曲線を生成})^から+1 (^円 を生成)^{へ変化する変数} tが及ぼす影響を表しています. このアニメーションをプロットするに は,^{フレームをクリックし},^編集+プロパティを選択します. プロットした数式タブのプロット範 囲とアニメーションを選択し,^{変数の範囲を}−2≤x≤2,−2≤y≤2^{と設定します}. ^{表示タブに} 移動し,両軸で同じスケーリングを採用を選択します.

◮ 2Dアニメーションのプロット+ ^陰関数 x²+ty²= 1

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

2 1 . 7 5 1 . 5 1 . 2 5 1 0 . 7 5 0 . 5 0 . 2 5 0 -0 .2 5 -0 .5 -0 .7 5 -1 -1 .2 5 -1 .5 -1 .7 5 -2

1 . 5 1 . 2 5 1 0 . 7 5 0 . 5 0 . 2 5 0

-0 .2 5 -0 .5 -0 .7 5 -1 -1 .2 5 -1 .5

x y

x y

1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2 0 -0 .2 -0 .4 -0 .6 -0 .8 -1

2 1 . 7 5 1 . 5 1 . 2 5 1 0 . 7 5 0 . 5 0 . 2 5 0

-0 .2 5 -0 .5 -0 .7 5 -1 -1 .2 5 -1 .5 -1 .7 5 -2

x y

x y

1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -0 .2 -0 .4 -0 .6 -0 .8 -1

1

0 .8

0 .6

0 .4

0 .2 0

-0 .2

-0 .4

-0 .6

-0 .8

-1

x y

x y

¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤

6.12 3D ^{プロットのビュー}

3D空間で曲線や曲面をプロットする方法は2D平面でのプロットの場合とほぼ同じです. ^ビュー はひとつの箱であり,この大きさは各軸の範囲x0≤x≤x1,y0≤y≤y1,z0≤z≤z1によって 決ります.

プロット範囲のデフォルトは−5≤x≤5,−5≤y≤5^であり,z軸の設定はプロットする数式に よって決ります. 変数名はアルファベット順に決りますので他のアルファベットを使っても構いま せん.

◮ 2変数の数式をプロットする 1. 数式にカーソルを配置します.

2. 数式処理ツールバーから3Dプロット直交座標ボタン,^または3Dプロットサブメニューか ら直交座標を選択します.

次に曲面z=x³−3xy^{2 を示す}3D^{プロットを示します}. ^変数x^とy^およびz^{のビューのデフォ} ルト,^また,^式x³−3xy²のプロット範囲はデフォルトのまま変更しません.^式x³−3xy^2にカー ソルを配置し,^{数式処理ツールバーの}3Dプロット直交座標ボタンをクリックするか,^または,3D プロットサブメニューから直交座標を選択します.

◮ 3D^プロット+ ^直交座標 x³−3xy²

5 - 2 .52 .5 00 2 .5- 2 .5 5- 5 - 5

2 5 0

1 2 5

0

- 1 2 5

- 2 5 0

x y

z

x y

z

6.13 3D プロットのツールとダイアログ

作成したプロットを編集する場合に,プロットのプロパティダイアログを利用します. 3D^プロッ トのビューを変更する場合はプロットオリエンテーションツールを利用します.

6.13.1 プロットオリエンテーションツール

プロットオリエンテーションツールとは3D空間の表示角度を設定するための機能です. ^その際, プロットのプロパティダイアログの表示タブを使って表示角度を変更します.

ドキュメント内 Doing Mathematics | TeX, LaTeX文書作成ソフト Scientific WorkPlaceWord | ライトストーン (ページ 183-196)